Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  | Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности |
| Дуга |  | Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
| Круг |  | Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |  | Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |  | Часть круга, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |  | Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны |
 | Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
| Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности |
| Дуга |
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
| Круг |
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |
Часть круга, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
Формулы для длины окружности и её дуг
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.
Рис.1
Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна
Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна
Следовательно,
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу πR2.
Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
S = πR2.
Длина окружности
Рассмотрим правильный n – угольник B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).
Рис.2
Поскольку площадь n – угольника B1B2…Bn равна
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
C = 2πR.
Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.3
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.4
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.5
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
Следовательно,
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Следовательно,
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Дуга — это… Что такое Дуга?
ДУГА — жен. согнутая линия, черта или вещь, образующая кривизну, погиб; часть окружности круга или другой кривой черты, и пр. элипса, параболы. | ·стар. и сев. радуга. | В оглобельной упряжи, деревянная, согнутая крутым лучком тугая распорка между… … Толковый словарь Даля
Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… … Википедия
дуга — и; мн. дуги; ж. 1. Часть окружности или какой л. другой кривой линии в виде полукруга. Ракета описала в небе дугу. Соединить дугой. // О том, что имеет форму кривой, изогнутой линии. Д. лука. Тёмные дуги бровей. Радуга дуга. На повороте река… … Энциклопедический словарь
ДУГА — ДУГА, дуги, мн. дуги, дугам, жен. 1. Принадлежность упряжи из круто изогнутого ствола тонкого дерева, концы которого вдеваются в гужи для скрепления оглобель с хомутом. «Дуги гнут с терпеньем и не вдруг.» Крылов. 2. Часть окружности круга или… … Толковый словарь Ушакова
ДУГА — ДУГА, и, мн. дуги, дуг, дугам, жен. 1. Часть кривой линии, заключенная между двумя её точками, то, что имеет вид такой линии. Д. радуги. Ветка согнулась дугой. Брови дугой. 2. Круто изогнутая деревянная часть упряжки, скрепляющая оглобли с… … Толковый словарь Ожегова
дуга — укр. дуга, также радуга , болг. дъга радуга , сербохорв. дуга, словен. dǫga, чеш., слвц. duha, польск. dęga, dąga. Родственно лтш. dañga выбоина, колдобина , dañdzis венец, обод колеса из цельного куска (курземские элементы), лит. dangùs,… … Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера
дуга — См. кривизна согнуть в дугу… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. дуга цата, прилука, ортодромия, кривизна, упряжь, сгиб, арка, кружало, ортодрома Словарь русских синонимов … Словарь синонимов
дуга — ДУГА, и, ж. и в зн. сказ. Конец, провал, крах, фиаско, неудача. Всё, мне дуга! дуга нашему мероприятию. См. также Пьяный в дугу … Словарь русского арго
ДУГА — ДУГА, часть кривой. Для круга радиусом r длина (s) дуги этого круга, имеющей p градусов, задается выражением s = 2pr3q/360. Если угол измеряется в РАДИАНАХ, длина дуги задается произведением радиуса и угла, т.е. s = rq. Говорят, что дуга… … Научно-технический энциклопедический словарь
ДУГА — (Voltaic arc) сокращенное название вольтовой дуги. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 ДУГА (астр.) нижние части шпангоутов (флортимберсы), обделанные и собранные для установки… … Морской словарь
дуга — (Arc) Сегмент кривой, как правило, в виде соединительного штриха [горизонтальная или наклонная линия, соединяющая основные штрихи] в круглых и овальных формах. Бреве, Дуга (Breve) Один из верхних акцентов [надстрочный или подстрочный… … Шрифтовая терминология
Значение слова дуга. Толкование, определение слова дуга: что это такое
Дуга ж. согнутая линия, черта или вещь, образующая кривизну, погиб; часть окружности круга или другой кривой черты, и пр. элипса, параболы. | Стар. и сев. радуга. | В оглобельной упряжи, деревянная, согнутая крутым лучком тугая распорка между оглобель, укрепляемая концами взахлест кожаными петлями, гужами, после чего клешни хомута стягиваются под шеей лошади супонью. | Воз. Пошло с товаром тридцать дуг, возов. Подрядчик взял по рублю с дуги, с воза, за доставку извозчикам клади. | У судостроителей, по Волге, нижняя часть шпангоута, опруги, ребра, лежащего для сбора на земле; поставленная на киль (лыжу). она уже назыв. флотина (флортимберс?). Лежит — ниже кота, а встанет — выше коня? дуга. Согнута в дугу, летом на лугу, замой на крюку? коса. Лежу — ниже курицы; встану — выше лошади? дуга. Лежу — все молчу, подыми — всех заговорю! дуга с колокольчиком. Едут — дуга на дуге, много. Забрякали дугам (дат. пад. вм. твор. сев.), не улежать и хомутам. Хоть дугу впрягай, только бы везла! Вот тебе хомут да дуга, а я тебе не слуга! Поклон — что дуга; отказ- что шест. Туда и сюда, как попова дуга (как бабье коромысло). В лесу не дуги, в суде не деньги. Дуга моя в лесу растет, возжи на лутошке! ничего нет. Из дуги оглобли не сделаешь. Согнулся дугой, да и стал как другой. Барского слугу стало гнуть в дугу, неможется. Согнуть кого в дугу (в три дуги: в три погибели). Я тебя согну в дугу, да и концы накрест сведу! Прав (или прям) как дуга. Неправда, что дуга ветловая: концы в воде, так середка наружу; середка в воде, концы наружу. Слепому давай дугу неписаную! Дужка умалит. рукоятка, хватка у посудины, выгнутая дугою, лучком: чересло, перевесло. Дужка бывает у ведра, у шпаги, у гири, у корзины, у железной кровати и пр. | Кость, соединяющая грудную кость с плечевою, ключица. Дужье ср. собират. дуги. С Ветлуги возят полозье, оглобелье, дужье. Дуговой лес, дуговая ветла, годный на выделку дуг. Дуговое ср. денежный сбор с дуги, с каждой повозки, напр. сбор, побор и принос от извозчиков и ямщиков, плата за въезд в лес, за рубку, по числу повозок или дровней и пр. Дужистый, дуговатый, дуговидный, дугообразный, несклон. согнутый, кривой, лучковый, не прямой. Дужчатый, то же, образующий дугу, либо дуги. Дужный, дуговой и в различном смысле к дуге относящ. Дужник м. дужный мастер, кто гнет дуги. | Дужники мн. или дужное, дужнина, дужные деньги, которые подрядчик берет с извозчиков подужно, т. е. с упряжки, с воза, за сбор и доставку им под извоз клади. Дуговерхий, дугобокий и пр. у чего верх или бок дугою, выпуклый.
Значение слова дуга в толковом онлайн-словаре Даля В. И.
Дуга
, -и, мн. дуги, дуг, дугам, ж. 1. Часть кривой линии, заключенная между двумя ее точками, то, что имеет вид такой линии. Д. радуги. Ветка согнулась дугой. Брови дугой. 2. Круто изогнутая деревянная часть упряжки, скрепляющая оглобли с хомутом. Колокольчик под дугой. Гнуть дуги. Согнуть в дугу или в при дуги кого-н. (перен.: принуждением заставить повиноваться). — Курская дуга — большой дугообразный участок фронта в районе г. Курска, где в 1943 г. произошло величайшее танковое сражение Великой Отечественной войны, закончившееся победой советских войск. Электрическая дуга (спец.) — электрический разряд в газе в виде яркого плазменного шнура. || прил. дуговой, -ая, -ое и дужный, -ая, -ое (ко 2 энач.; устар.).Значение слова дуга в толковом онлайн-словаре Ожегова C. И.
См. также: происхождение слова дуга в этимологических словарях.
Центральный и вписанный угол, свойства
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.
Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.
Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».
Равные центральные углы опираются на равные хорды.
1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Ответ: .
2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .
Мы знаем, что .
Отсюда ,
.
Ответ: .
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.
Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .
Ответ: .
4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть
Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .
Ответ: .
Дуга прямого действия — это… Что такое Дуга прямого действия?
- Дуга прямого действия
126. Дуга прямого действия
Дуга, при которой объект сварки включен в цепь сварочного тока
Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации. academic.ru. 2015.
- дуга обслуживания (космической станции)
- Дуговая лампа
Смотреть что такое «Дуга прямого действия» в других словарях:
дуга прямого действия — Электрическая дуга, при которой объект сварки является одним из электродов [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] дуга прямого действия Дуга, при которой объект сварки включен в цепь сварочного тока [ГОСТ … Справочник технического переводчика
Дуга прямого действия — – дуга, при которой объект сварки включен в цепь сварочного тока. [ГОСТ 2601 84] Рубрика термина: Сварка Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование, Абразивы, Автодороги, Автотехника … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
ДУГА ПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ — электрическая дуга, при которой объект сварки является одним из электродов (Болгарский язык; Български) дъга с непосредствено действие (Чешский язык; Čeština) oblouk při svařování jednou elektrodou (Немецкий язык; Deutsch) direkter Lichtbogen… … Строительный словарь
ДУГА ПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ — [transferred arc] дуга, при которой объект сварки включен в цепь сварочного тока … Металлургический словарь
сварочная дуга прямого действия — Сварочная дуга, при которой объект сварки включен в цепь сварочного тока. [http://sl3d.ru/o slovare.html] Тематики машиностроение в целом … Справочник технического переводчика
плазменная сварка дугой прямого действия — 4.2.4.23 плазменная сварка дугой прямого действия: Плазменная сварка, при которой электрический источник питания подключен к электроду и заготовке (см. рисунок 44). 1 дуга прямого действия; 2 сварной шов; 3 присадочный металл; Рисунок 44… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
дуга — 05.02.62 дуга [ arc]: Конкретная ветвь дерева идентификаторов объектов, которая, при необходимости, может образовывать новые ветви с целью определения конкретного объекта. Примечание Три дуги верхнего уровня, общие для всех идентификаторов… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
плазменная дуга — [plasma arc] стабилизированный дуговой разряд между нагреваемым или расплавляемым телом (анодом) и катодом электродугового плазматрона. Плазменная дуга стабилизируется газовыми потокамиствием электромагнитных полей. Плазменная дуга прямого… … Энциклопедический словарь по металлургии
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ДУГА — вольтова дуга, один из видов дугового разряда, представляющий собой ярко светящийся плазменный шнур. При горизонтальном расположении электродов этот шнур под действием восходящих потоков нагретого разрядом газа принимает форму дуги. Э. д. может… … Большой энциклопедический политехнический словарь
плазменная дуга — Стабилизиров. дуговой разряд между нагреваемым или расплавляемым телом (анодом) и катодом электродугового плазматрона. П. д. стабилизируется газ. потоками действием эл. магн. полей. П. д. прямого действия — более интенсивный и концентриров … Справочник технического переводчика
| И что мы захотим сделать, так это удалить эти, мы захотим убрать всё, что находится между двумя электродами, иначе может возникнуть электрическая дуга. | |
| Дуга противостояния сдвигалась, и теперь Тим оказался прямо к югу от главного входа библиотеки. | |
| Узкая неровная дуга, закрытая опорами, чуть дальше пол испещрен десятками глубоких дыр. | |
| Элегантная дуга выступавших верхних этажей проходила всего в семи метрах от противоположного здания. | |
| Оно выходило каждой вещи дуга старой мои друзья. | |
| Если через эти озера провести линию, то получится дуга, которая показывает эпицентр распространения древнего потопа. | |
| Дуга Струве охраняется ЮНЕСКО. Это целая цепь объектов геодезической съемки, протянувша… | |
| 1. Нажмите кнопку Дуга Фибоначчи на панели инструментов или выберите Дуга Фибоначчи в меню Вставка. | |
| А тут у нас, например, 27 розовых квадратов и только одна розовая дуга. | |
| Такая же дуга развития может и должна быть очерчена для Южного Средиземноморья. | |
| Рентгеновский снимок показал перелом скуловой кости; скуловая дуга впилась в височную мышцу так, что она не могла открыть рот: боль была невыносимой. | |
| Если поток энергии, проходящий через дугу, будет прерван непроводящим материалом, то есть большая вероятность того, что цепь разорвётся и дуга исчезнет. | |
| Тебе нужно чтобы дуга находилась вот тут, чтобы она давила на ладонь. | |
| Например, нашего красильщика бордюдов, Дуга Харви. | |
| Это нравственная вольтова дуга. | |
| У нас есть еще не все новомодное оборудование, но с нашим коронарным зондированием и системой трёхмерной ангиографии типа С-дуга | |
| Не прямая линия, не дуга, ничего. | |
| Да, не уверен, как долго Дуга продержится в первых рядах, но полагаю, в твоем мире нам нужно быть только первыми, а не лучшими. | |
| Газовое пламя, например, или электрическая дуга землетрясения, вулканы или эоны времени | |
| О, Бог, позволяющий жестокости множиться и людям истязать друг дуга… | |
| Я одела откровенное платье на бракоразводный процесс, после него адвокат Дуга пришёл в мой отель, чтобы пересмотреть условия договора. | |
| Он пошел искать Дуга и не вернулся. | |
| Спускающаяся дуга — это прошлое,.. | |
| И тогда он разыскал того бродягу, Дуга? | |
| Дуга – это не волшебство. | |
| Значит, ты смастерил бомбу и установил её той ночью в машину Дуга. | |
| И дуга от пули похожа на радугу. | |
| Алек, программа Дуга, ты сказал, что она была создана, чтобы обходить защиту частной информации. | |
| Он прихватил и наш пистолет тоже Тот который по настоянию Дуга мы держали на лодке. | |
| Вот эта деревянная дуга ломает им хребет. | |
| Даже, если бы я захотела убить Дуга, я не смогла бы замахнуться клюшкой как следует. | |
| Дуга истории включает в себя попытки Бикла защитить 12-летнего ребенка-проститутку, которого играет Фостер. | |
| Другие общепринятые в настоящее время названия для циркумгоризонтальной дуги-это дуга циркумгоризонта или нижняя симметричная дуга 46° пластины. | |
| Дуга имеет значительную угловую протяженность и поэтому редко бывает полной. | |
| Как часто видна Окружная дуга, зависит от местоположения и широты наблюдателя. | |
| Затем на стене появится проецируемая красочная искусственная круговая дуга. | |
| Значительная сюжетная дуга увидела, как сеть подавила разоблачение FYI в табачной промышленности, что привело к отставке первого набора, а затем и остальной части актеров. | |
| Лунная дуга циркумгоризона может быть видна и в других широтах, но гораздо реже, так как она требует почти полной Луны для получения достаточного количества света. | |
| Дуговая сталеплавильная печь, по сравнению с ней, дуга на открытом воздухе. | |
| Группа образовалась в 1990-х годах, состоящая из вокалиста и гитариста Бена Дунка, басиста Ника Дунка и барабанщика Дуга Будро. | |
| Другие результаты | |
Дуга (геометрия) — Arc (geometry)
Круговой сектор заштрихован в зеленом цвете. Его изогнутая граница длины L представляет собой дугу окружности.В евклидовой геометрии , дуги (символ: ⌒ ) представляет собой замкнутый отрезок дифференцируемой кривой . Типичный пример в плоскости (а двумерный многообразие ), представляет собой сегмент круга называется дугой окружности . В пространстве, если дуга является частью большого круга (или большого эллипса ), это называется большой дугой .
Каждая пара различных точек на окружности определяет две дуги. Если эти две точки не прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, то незначительные дуги , будет сопутствуют угол в центре круга , который меньше , чем п радиан (180 градусов), а другой дуги, то основная дуга , будет стягивать угол больше л радиан.
Круговые дуги
Длина дуги окружности
Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности с радиусом г и стягивающей угол & thetas (измеренный в радианах) с центром окружности — то есть, центральный угол — это
- Lзнак равноθр,{\ Displaystyle L = \ тета г.}
Это потому что
- LсярсUмеереNсезнак равноθ2π,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {L} {\ mathrm {окружности}}} = {\ гидроразрыва {\ тета} {2 \ пи}}.}
Подставляя в окружности
- L2πрзнак равноθ2π,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {L} {2 \ пи г}} = {\ гидроразрыва {\ тета} {2 \ пи}}}
и с α быть тем же угол , измеренный в градусах, так как & thetas ; = & alpha ; / 180 л , длина дуги равна
- Lзнак равноαπр180,{\ Displaystyle L = {\ гидроразрыва {\ альфа \ пи г} {180}}.}
Практический способ определения длины дуги в окружности, чтобы построить две линии от конечных точек дуги в центре круга, измерить угол, где две линии пересекаются в центре, а затем решить для L с помощью кросс-умножая заявление :
- Мера угла в градусах / 360 ° = L / окружности.
Например, если мера угла составляет 60 градусов, а окружность составляет 24 дюймов, а затем
- 60360знак равноL24360Lзнак равно1440Lзнак равно4.{\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} {\ гидроразрыва {60} {360}} & = {\ гидроразрыва {L} {24}} \\ 360L & = 1440 \\ л & = 4. \ {Конец выровнен}}}
Это так потому, что длина окружности и степени окружности, из которых всегда есть 360, прямо пропорциональны.
Площадь сектора дуги
Площадь сектора, образованного дугой и центром окружности (ограниченной дугой и двумя радиусами обращается к своим конечным точкам) является
- Aзнак равнор2θ2,{\ Displaystyle А = {\ гидроразрыва {г ^ {2} \ тета} {2}}.}
Площадь имеет ту же долю в зоне окружности , что и угол & thetas до полного круга:
- Aπр2знак равноθ2π,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {A}, {\ пи г ^ {2}}} = {\ гидроразрыва {\ тета} {2 \ пи}}.}
Мы можем отменить П с обеих сторон:
- Aр2знак равноθ2,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {A}, {г ^ {2}}} = {\ гидроразрыва {\ тета} {2}}.}
Умножив обе части на р 2 , мы получаем окончательный результат:
- Aзнак равно12р2θ,{\ Displaystyle А = {\ гидроразрыва {1} {2}} г ^ {2} \ тета.}
Используя преобразование, описанное выше, мы находим, что площадь сектора для центрального угла в градусах является
- Aзнак равноα360πр2,{\ Displaystyle А = {\ гидроразрыва {\ альфа} {360}} \ пи г ^ {2}.}
Площадь сегмента дуги
Область формы, ограниченной дуги и прямой линией между его двумя конечными точками
- 12р2(θ-грехθ),{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} г ^ {2} \ влево (\ тета — \ грех {\ Theta} \ справа).}
Для того, чтобы получить площадь сегмента дуги , необходимо вычесть площадь треугольника, определяемая центра круга и двух конечных точек дуги, из области . См Круговой сегмент для деталей. A{\ Displaystyle A}
радиус дуги
Продукт из отрезков АР и РВ равна произведению отрезков линии CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высота CP, то диаметр этого кругаСDзнак равноAп⋅пВСп+Сп{\ Displaystyle CD = {\ гидроразрыва {AP \ CDOT PB} {CP}} + CP}Используя теорему пересекающихся аккордов (также известную как мощности в точке или теоремы секущей касательной) можно вычислить радиус г круга , учитывая высоту Н и ширину W дуги:
Рассмотрим аккорд с теми же концами , как дуга. Его перпендикуляр еще один аккорд, который представляет собой диаметр круга. Длина первой хорды Вт , и он делится на биссектрисе на две равные части, каждая из которых с длиной W / 2 . Общая длина диаметра составляет 2 г , и он разделен на две части первого аккорда. Длина одной части является Sagitta дуги, H , а другая часть представляет собой остаток от диаметра, с длиной 2 г — Н . Применяя теорему пересекающихся хорд этих двух хорд производишь
- ЧАС(2р-ЧАС)знак равно(W2)2,{\ Displaystyle Н (2r-Н) = \ влево ({\ гидроразрыва {W} {2}} \ справа) ^ {2}}
откуда
- 2р-ЧАСзнак равноW24ЧАС,{\ Displaystyle 2r-H = {\ гидроразрыва {W ^ {2}} {4H}}}
так
- рзнак равноW28ЧАС+ЧАС2,{\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {W ^ {2}} {8Н}} + {\ гидроразрыва {H} {2}}.}