Разное 0 comments

Прямая и обратная: Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач — Математика — 6 класс

Posted on By alexxlab

Содержание

Прямая и обратная пропорциональность. Формулы, обозначение, примеры

Чем старше дерево, тем оно выше. Чем медленнее темп, тем дольше идти до школы. Эти и другие процессы можно описать математическим языком в виде прямой и обратной пропорциональной зависимости. Как это делать — расскажем в этой статье.

Записывайтесь на онлайн-фестиваль для родителей SmartFest!

Ждём вас 8 октября в 13:00. Вместе с педагогами, психологами и другими экспертами в образовании и воспитании ответим на главные вопросы мам и пап.

Бесплатный урок по математике

Записаться

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Виды зависимостей:

  • Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.

  • Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

  • Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.

  • Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

  • при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;

  • периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;

  • стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

  1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время:

  2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений:

  3. Найдем скорость второго автомобиля:

Ответ: 20 км/ч.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней, если они пишут с такой же скоростью?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

  1. Составим пропорцию:

    14 (постов) / 8 (дней) × х (блогеров) = 420 (постов) / 12 (дней)

  2. Вспомним основное свойство пропорции, согласно которому:

    14x × 12 = 420 × 8

    х = (420 × 8) / (14 × 12)

  3. х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

  • время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

  • при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;

  • количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

  1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

  2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

  3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

    30 : 24 = 5 : х

  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

    х = 24 * 5 : 30

    х = 4

  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

v1 = 75 км/ч

v2 = 52 км/ч

t1 = 13 ч

t2 = х

Как решаем:

  1. Составим пропорцию:

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

  2. Подставим известные значения:

    18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Прямая и обратная пропорциональность. Коэффициент и формулы

  • Прямая пропорциональность
  • Формула прямой пропорциональности
  • Обратная пропорциональность
  • Формула обратной пропорциональности

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч)124816
Путь s (км)510204080

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.   В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

s   =  v,
t

следовательно,

5  = 10  = 20  = 40  = 80  = 5.
124816

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время  t = 2 ч
Скорость  v (км/ч)5154590
Расстояние  s (км)103090180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

s   =  t,
v

следовательно,

10  = 30  = 90  = 180  = 2.
5154590

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

y   =  k.
x

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Путь  s = 120 км
Скорость  v (км/ч)10204080
Время  t (ч)12631,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

y  =  k ,
x

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости / Отношения и пропорции / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Отношения и пропорции
  5. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямая пропорциональная зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Примеры:

1) — периметр квадрата, — его сторона.

= 4.

Если = 1 см, то = 41 = 4 (см).

Если = 2 см, то = 42 = 8 (см).

Если = 4 см, то = 44 = 16 (см).

Получаем, что каждый раз, увеличивая сторону квадрата в 2 раза, его периметр также будет увеличиваться в 2 раза. Аналогично, если сторону квадрата будем уменьшать в какое-то число раз, то и периметр квадрата будет уменьшаться в это же число раз. Следовательно, величины и прямо пропорциональны. Можно сказать еще и так: «величина прямо пропорциональна величине » или «зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью«.

2) При движении с постоянной скоростью, пройденный путь и время движения прямо пропорциональны, т.к. пройденный путь равен произведению скорости и времени движения.

Пусть скорость движения пешехода 8 км/ч.

Если = 1 ч, то = 81 = 8 (км).

Если = 3 ч, то = 83 = 24 (км).

Если = 9 ч, то = 89 = 72 (км).

Получаем, что каждый раз, увеличивая время в пути в 3 раза, путь также будет увеличиваться в 3 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью, при условии движения с постоянной скоростью.

Свойство прямо пропорциональных величин:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 4, т.к. : = 4 : 1 = 8 : 2 = 16 : 4 = 4, а для величин и это число равно 8, т.к. : = 8 : 1 = 24 : 3 = 72 : 9 = 8.

Обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Примеры:

1) Если расстояние является постоянной величиной, то скорость и время движения обратно пропорциональны, т.к. время движения равно частному от деления расстояния на скорость движения.

Пусть расстояние равно 80 км.

Если = 10 км/ч, то = 80 : 10 = 8 (ч).

Если = 20 км/ч, то = 80 : 20 = 4 (ч).

Если = 40 км/ч, то = 80 : 40 = 2 (ч).

Получаем, что каждый раз, увеличивая скорость движения в 2 раза, время движения будет уменьшаться в 2 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является обратной пропорциональностью, при том условии, что расстояние нужно проехать одинаковое.

2) и — стороны прямоугольника, а его площадь 36 см2.

Если = 3 см, то = 36 : 3 = 12 (см).

Если = 6 см, то = 36 : 6 = 6 (см).

Получаем, что величины и обратно пропорциональны, т.к. увеличивая (уменьшая) одну сторону прямоугольника в 2 раза, чтобы его площадь не изменилась, вторую сторону нужно уменьшить (увеличить) в 2 раза.

Свойство обратно пропорциональных величин:

Если две величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 80, т.к. = 108 = 204 = 402 = 80, а для величин и это число равно 12, т.к. = 312 = 66 = 36.

Не всякие величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, размер обуви человека увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, т.к. при удвоении возраста размер обуви человека не удваивается.

Пусть нам дана задача:

Украшение состоит из белого и желтого золота массой 192 г. При этом масса белого золота относится к массе желтого золота как 5 : 7. Надо найти массу белого и желтого золота, из которых сделано украшение.

Решение:

Мы можем считать, что все украшение состоит из 5 + 7 = 12 частей одинаковой массы. По условию масса украшения равна 192 г, а значит, масса одной части украшения равна 192 : 12 = 16 г.

Белое золото соответствует 5 частям, то есть имеет массу 516 = 80 г, а желтое золото соответствует 7 частям, то есть имеет массу 716 = 112 г.

Итак мы получили, что украшение состоит из 80 г белого золота и 112 г желтого золота.

То есть мы число 192 (масса украшения) представить в виде суммы двух слагаемых — 80 и 112, отношение которых равно 5 : 7.

В этом случае говорят, что число 192 разделили в отношении 5 : 7, или по-другому, число 192 представили в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 5 и 7.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отношения

Пропорции

Длина окружности и площадь круга

Отношения и пропорции

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 6, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 673, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 680, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 786, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 793, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 836, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1495, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 846, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 847, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс.

Математика. Прямая и обратная пропорциональные зависимости — Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Комментарии преподавателя

Част­ное двух чисел на­зы­ва­ют от­но­ше­ни­ем этих чисел.

Про­пор­ция – это ра­вен­ство двух от­но­ше­ний.

Ве­ло­си­пе­дист за 3 часа про­ез­жа­ет 75 ки­ло­мет­ров. За сколь­ко вре­ме­ни он про­едет 150 ки­ло­мет­ров с той же ско­ро­стью?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста. Затем узна­ем время, за ко­то­рое он про­едет 150 км.

Из ре­ше­ния видно, что при дви­же­нии с одной и той же ско­ро­стью ве­ло­си­пе­дист за боль­шее время прой­дет боль­шее рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз боль­ше прой­ден­ный путь, во столь­ко раз боль­ше за­тра­чен­ное на него время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют прямо про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая уве­ли­чи­ва­ет­ся во столь­ко же раз.

Мо­то­цик­лист про­ехал 3 часа со ско­ро­стью 60 км/ч. За сколь­ко часов он про­едет то же рас­сто­я­ние со ско­ро­стью 45 км/ч?

Пер­вым дей­стви­ем най­дем длину прой­ден­но­го пути. Вто­рым дей­стви­ем – время дви­же­ния со ско­ро­стью 45 км/ч.

Мо­то­цик­лист про­ехал одно и то же рас­сто­я­ние. Во сколь­ко раз ско­рость мо­то­цик­ли­ста боль­ше, во столь­ко раз мень­ше за­тра­чен­ное на дви­же­ние время. Такие ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми.

Опре­де­ле­ние.

Две ве­ли­чи­ны на­зы­ва­ют об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны­ми, если при уве­ли­че­нии одной из них в несколь­ко раз дру­гая умень­ша­ет­ся во столь­ко же раз.

Длина сто­ро­ны квад­ра­та и пе­ри­метр свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пе­ри­метр квад­ра­та – это сумма длин че­ты­рех его рав­ных сто­рон. Если длину сто­ро­ны уве­ли­чить в несколь­ко раз, то пе­ри­метр уве­ли­чит­ся во столь­ко же раз.

Длина и ши­ри­на пря­мо­уголь­ни­ка (при за­дан­ной пло­ща­ди) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка – это про­из­ве­де­ние длины и ши­ри­ны. По­это­му, чтобы пло­щадь оста­ва­лась неиз­мен­ной при уве­ли­че­нии длины в несколь­ко раз, надо ши­ри­ну умень­шить во столь­ко же раз.

Ско­рость ав­то­мо­би­ля и путь, ко­то­рый он про­едет за опре­де­лен­ное время, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Время в дан­ном слу­чае – ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, по­это­му при боль­шей ско­ро­сти ав­то­мо­биль прой­дет боль­ший путь.

Воз­раст де­ре­ва и его вы­со­та не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. В этом слу­чае за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Дей­стви­тель­но, вы­со­та де­ре­ва с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Сто­и­мость то­ва­ра, куп­лен­но­го по одной цене, и его ко­ли­че­ство свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­шее ко­ли­че­ство то­ва­ра ку­пи­ли, тем боль­шее ко­ли­че­ство денег на него по­тра­ти­ли.

Воз­раст че­ло­ве­ка и раз­мер его обуви не свя­за­ны про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. За­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми есть. Раз­мер обуви с воз­рас­том уве­ли­чи­ва­ет­ся, но не во столь­ко же раз.

Дробь и ее зна­ме­на­тель (при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле) свя­за­ны об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Чем боль­ше зна­ме­на­тель, тем мень­ше дробь при по­сто­ян­ном чис­ли­те­ле.

Дробь и ее чис­ли­тель (если зна­ме­на­тель не из­ме­ня­ет­ся) свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью.

Вес­ной при про­ве­де­нии работ по озе­ле­не­нию го­ро­да на улице по­са­ди­ли липы. При­ня­лось 95% всех по­са­жен­ных лип. Сколь­ко по­са­ди­ли лип, если при­ня­лось 57 лип?

Ве­ли­чи­ны, о ко­то­рых го­во­рит­ся в за­да­че, свя­за­ны пря­мой про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­стью. Со­ста­вим крат­кое усло­вие за­да­чи, за­пи­шем про­пор­цию и решим ее.

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх).

Для отоп­ле­ния зда­ния школы за­го­то­ви­ли угля на 180 дней при норме рас­хо­да 0,6 т в день. На сколь­ко дней хва­тит за­па­са, если рас­ход еже­днев­но со­ста­вит 0,5 т?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны. . Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то вто­рая убы­ва­ет (стрел­ка вниз). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в раз­ные сто­ро­ны, одно из от­но­ше­ний пе­ре­во­ра­чи­ва­ем и при­рав­ни­ва­ем то, что по­лу­чи­лось.

Эту за­да­чу и ана­ло­гич­ные ей можно ре­шить, и не вы­пи­сы­вая про­пор­цию в явном виде.

В же­лез­ной руде на 7 ча­стей же­ле­за при­хо­дит­ся 3 части при­ме­сей. Сколь­ко тонн при­ме­сей в руде, ко­то­рая со­дер­жит 73,5 т же­ле­за?

Стрел­ки в крат­кой за­пи­си на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну. Их на­прав­ле­ние го­во­рит о том, что если пер­вая ве­ли­чи­на воз­рас­та­ет (стрел­ка вверх), то и вто­рая тоже воз­рас­та­ет (стрел­ка тоже вверх). Для каж­до­го стол­би­ка таб­ли­цы со­ста­вим от­но­ше­ние верх­не­го эле­мен­та к ниж­не­му, т. к. стрел­ки на­прав­ле­ны в одну сто­ро­ну, при­рав­ни­ва­ем по­лу­чен­ные от­но­ше­ния. Со­став­ля­ем про­пор­цию. Ре­ша­ем ее. Итак, ответ – 31,5 кг при­ме­сей.

Если две ве­ли­чи­ны прямо про­пор­ци­о­наль­ны, то от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ний этих ве­ли­чин равны. Если две ве­ли­чи­ны об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ны, то их про­из­ве­де­ние по­сто­ян­но и не равно нулю

Прин­тер рас­пе­ча­ты­ва­ет 27 стра­ниц за 4,5 ми­ну­ты. За какое время он рас­пе­ча­та­ет 300 стра­ниц?

За­ви­си­мость между ко­ли­че­ством на­пе­ча­тан­ных стра­ниц и вре­ме­нем прямо про­пор­ци­о­наль­ная. Со­ста­вим про­пор­цию и решим ее.

 

Ав­то­мо­биль про­ехал 310 ки­ло­мет­ров, ис­тра­тив 25 лит­ров бен­зи­на. Какое рас­сто­я­ние может про­ехать ав­то­мо­биль с пол­ным баком, вме­ща­ю­щим 40 лит­ров бен­зи­на?

Чем боль­шее рас­сто­я­ние про­едет ав­то­мо­биль, тем боль­ше бен­зи­на он по­тра­тит. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость между ве­ли­чи­на­ми прямо про­пор­ци­о­наль­ная.

Пят­на­дцать ра­бо­чих вы­пол­ня­ют заказ за 4 дня. Сколь­ко нужно ра­бо­чих, чтобы вы­пол­нить тот же заказ за 3 дня?

Для того чтобы вы­пол­нить заказ быст­рее, ко­ли­че­ство ра­бо­чих нужно уве­ли­чить. Со­от­вет­ствен­но, за­ви­си­мость об­рат­но про­пор­ци­о­наль­ная.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/pryamaya-i-obratnaya-proportsionalnye-zavisimosti

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=ALSAtOueOSw

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=buKHM8w_l4M

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=FtTrBSJz0AY

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=YMuRx7h3Mus

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=6ADjiJrSAtQ

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/prjamaja-i-obratnaja-proporcionalnye-zavisimosti.html

Бобкова С.

Н. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Автор: edu1

Методическая копилка — Математика

МБОУ «Букреевская основная общеобразовательная школа»

Рабочие материалы выступления 

на школьном этапе конкурса

«Учитель года 2013»

План — конспект открытого урока

математики в 6 классе по теме:

«Прямая и обратная

пропорциональные зависимости»

учитель математики Бобкова С. Н.

Букреевка, 2013 г.



Цель урока:

Образовательная:Закрепить понятия: пропорция, основное свойство пропорции, прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины. Закрепить умение решать задачи с помощью пропорции, познакомить с золотым сечением.

Продолжить формирование обще-учебных умений и навыков:

— планирование ответа;

— навыки самоконтроля;

— устный счет.

Контроль степени усвоения основных знаний, умений и навыков по данной теме.

Развивающая: Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации.

Развитие логического мышления, умения выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы.

Развитие умений сравнивать, правильно формулировать задачи и излагать мысли.

Развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательная: Формирование научного мировоззрения, интереса к предмету через содержание учебного материала.

Воспитание умения работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи.

Воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: карточки с заданиями для самостоятельной работы, презентация.

 

Ход урока:

1.      Устная работа.

1. Что такое пропорция?
2. Как называются числа  х и у в пропорции  х : а = b : у?
3. Как называются числа т и п в пропорции а: т = n: b?
4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

5. Какие ещё свойства пропорции вы знаете?

6.  Какие величины называются прямо пропорциональными?

7.  Какие величины называются обратно пропорциональными?

1)    Верна ли пропорция:

а)  2 : 5 = 16 : 40;      б)  7 : 2,1 = 2 : 0,6;      в)  4 : 12 = 14 : 4,2

2)   Какие числа надо вставить в «окошки», чтобы получить верную пропорцию

а)  33 : 6=  : 2;       б)    45 :  = 15 : 3;    в)   :  = 24 : 6;   г)   :  =  : 5.

3)  Составьте верную пропорцию из чисел 10, 12, 6 и 5.

4) Повторим алгоритм решения задач на прямую

 и обратную пропорциональные зависимости:

•      неизвестное число обозначить буквой х

•      записать условие задачи 

•      установить вид зависимости между величинами

•      прямую пропорциональную зависимость  

 обозначить одинаково направленными  

 стрелками, а обратную пропорциональную 

 зависимость – противоположно направленными  

 стрелками.

•      записать пропорцию

•      найти её неизвестный член.

3. Проверка домашнего задания. Защита творческих работ (домашнее задание было составить задачу на прямую или обратно пропорциональные зависимости)

4. Решение задач

            1.   За 4м ткани заплатили 180р. Сколько стоят 14м этой ткани? (630 р)


            2.  Чтобы покрасить стены дома за 2 дня, требуется 20 маляров. За сколько дней эту работу выполнят 4 маляра? ( 10дн)

3.      Пассажирский поезд, скорость которого 45км/ч, затратил на некоторый участок пути 4ч. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, если его скорость 40 км/ч? ( 4,5 ч)

4.      Для изготовления 18 одинаковых приборов потребовалось 27г платины. Сколько платины потребуется для изготовления28 таких приборов? ( 42г или 0,042кг)

5.      В 1 кг морской воды содержится 40г соли. Сколько соли содержится в 650 г морской воды? (0,026кг)

 

5. Самостоятельная работа.

Составить пропорции для решения задач

I- вариант                    II- вариант

в) и  г)                          а) и  б)

а) На пошив 9 рубашек ушло 18,9 м ткани. Сколько метров уйдёт на пошив 12 таких рубашек?

 

б) 6 одинаковых труб заполняют бассейн за 24 минуты. За сколько минут заполнят бассейн 9 таких труб?

 

в) Бригада из 8 рабочих выполняет задание за 12 дней. Сколько рабочих сможет выполнить это задание за 8 дней, работая с той же производительностью?

 

г) Из 9,6 кг помидоров получают 4 л томатного соуса. Сколько литров соуса можно получить из 84 кг помидоров?

6.      Знакомство с «Золотым сечением» (Демонстрация презентации).

Откройте учебник на странице 144, прочитайте исторический материал.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения.

— Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения».

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (Прослушивание фрагмент оперы П. И. Чайковского).

7.    Рефлексия.

8.    Домашнее задание: Самостоятельная работа (другой вариант)

Онлайн урок: Прямая и обратная пропорциональные зависимости по предмету Математика 6 класс

  • Урок 23.Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность — это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = kx}\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = \frac{k}{x}}\)

где k — это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

 

Пример

Площадь прямоугольника равна \(\mathbf{S = a \cdot b}\), где S— это площадь прямоугольника, а — длина прямоугольника, b — ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения — постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

\(\mathbf{S = a \cdot b}\)

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

\(\mathbf{a = \frac {S}{b}}\) или \(\mathbf{b = \frac {S}{a}}\)

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a1 = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника — сторону a1 на 1 см, получим

a2 = 7 см

Найдем площади прямоугольников S1 и S2

 

\(\mathbf{S_{1} = a_{1} \cdot b = 6 \cdot 4 = 24}\) см2

\(\mathbf{S_{2} = a_{2} \cdot b = 7 \cdot 4 = 28}\)  см2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

 

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см2

b1 = 4 см

\(\mathbf{a_{1} = \frac{S}{b_{1}} = 6}\) (см)

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b1 на 2 см, получим

b2 = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a2

\(\mathbf{a_{2} = \frac{S}{b_{2}} = 4}\) (см)

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

 

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

Итак:

1)    Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2)    Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Пройти тест

Закрыть тест

Примеры задач, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.

Величины, зависящие друг от друга

Величина постоянная

Величина дроби и ее числитель

Знаменатель дроби

Объем выполненной работы и затраченное время

Производительность труда

Производительность труда и объем выполненной работы

Время работы

Длина пути и время прохождения этого пути

Скорость движения

Пройденный путь и скорость движения

Время движения

Количество товара и стоимость

Цена товара

Длина (ширина) прямоугольника и его площадь

Ширина (длина)

Примеры задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой

Знаменатель дроби и значение дроби

Числитель дроби

Число рабочих и время выполнения ими заданной работы

Производительность всех рабочих

Производительность труда и время потраченное на работу

Объем работы

Скорость движения и время

Путь

Количество товара и его цена

Стоимость покупки